Opções de ações com taxa de juros livre de risco

Opção e Taxa de Juros Livre de Risco.
Considere uma opção sobre ações sem pagamento de dividendos quando o preço das ações é de $ 30, o preço de exercício é de $ 29, a taxa de juros livre de risco é de 5% ao ano, a volatilidade é de 25% ao ano e o prazo até o vencimento. quatro meses. uma. Qual é o preço da opção se for uma chamada europeia? b. Qual é o preço da opção se é uma chamada americana? c. Qual é o preço da opção se é um put europeu? d. Verifique se a paridade de put-call é válida. Questão 2 Suponha que a ação da Questão 1 seja devida a ex-dividendo em 1. 5 meses.
O dividendo esperado é de 50 centavos. uma. Qual é o preço da opção se for uma chamada europeia? b. Qual é o preço da opção se é um put europeu? c. Use os resultados no Apêndice deste capítulo para determinar se existem circunstâncias nas quais a opção é exercida antecipadamente. Questão 3 Qual é o preço de uma opção de venda européia em uma ação sem pagamento de dividendos quando o preço da ação é de US $ 69, o preço de exercício é de US $ 70, a taxa de juros livre de risco é de 5% ao ano, a volatilidade é de 35%. ano e o prazo até o vencimento é de seis meses?
Questão 4 Uma moeda estrangeira vale atualmente US $ 1. 50. As taxas de juros livres de risco nacionais e estrangeiras são de 5% e 9%, respectivamente. Calcule um limite inferior para o valor de uma opção de compra de seis meses na moeda com um preço de exercício de $ 1. 40 se é (a) europeu e (b) americano. Questão 5 Considere um índice de ações atualmente em 250. O rendimento de dividendos sobre o índice é de 4% ao ano, e a taxa livre de risco é de 6% ao ano.
Uma opção européia de compra de três meses no índice com um preço de exercício de 245 atualmente vale US $ 10. Qual é o valor de uma opção de venda de três meses no índice com um preço de exercício de 245? Questão 6 Um índice atualmente está em 696 e tem uma volatilidade de 30% ao ano. A taxa de juros livre de risco é de 7% ao ano e o índice fornece um rendimento de dividendos de 4% ao ano. Calcule o valor de um put europeu de três meses com um preço de exercício de 700.

Como e por que as taxas de juros afetam as opções.
O Federal Reserve dos EUA deve elevar as taxas de juros nos próximos meses. As mudanças na taxa de juros afetam a economia como um todo, o mercado de ações, o mercado de títulos, outros mercados financeiros e podem influenciar fatores macroeconômicos. Uma mudança nas taxas de juros também impacta a avaliação de opções, que é uma tarefa complexa com múltiplos fatores, incluindo o preço do ativo subjacente, exercício ou preço de exercício, tempo de vencimento, taxa de retorno livre de risco (taxa de juros), volatilidade e rendimento de dividendos. Com exceção do preço de exercício, todos os outros fatores são variáveis ​​desconhecidas que podem mudar até o vencimento da opção.
Qual taxa de juros para opções de preços?
É importante entender as taxas de juros de vencimento corretas a serem usadas nas opções de precificação. A maioria dos modelos de avaliação de opções, como o Black-Scholes, usa as taxas de juros anualizadas.
Se uma conta com juros está pagando 1% ao mês, você recebe 1% * 12 meses = juros de 12% ao ano. Corrigir?
As conversões de taxa de juros em diferentes períodos de tempo funcionam de maneira diferente de uma simples multiplicação (ou divisão) de escalonamento para cima (ou para baixo) das durações de tempo.
Suponha que você tenha uma taxa de juros mensal de 1% ao mês. Como você pode convertê-lo em taxa anual? Nesse caso, o tempo múltiplo = 12 meses / 1 mês = 12.
1. Divida a taxa de juros mensal em 100 (para obter 0,01)
2. Adicione 1 a ele (para obter 1,01)
3. Aumentar para o poder do tempo múltiplo (ou seja, 1,01 ^ 12 = 1,1268)
4. Subtraia 1 dele (para obter 0,1268)
5. Multiplique por 100, que é a taxa anual de juros (12,68%)
Essa é a taxa de juros anualizada a ser usada em qualquer modelo de avaliação que envolva taxas de juros. Para um modelo de precificação de opções padrão como o Black-Scholes, as taxas do Tesouro de um ano livres de risco são usadas. (Veja relacionado: The Black-Scholes Option Valuation Model.)
É importante notar que as mudanças nas taxas de juros são raras e em pequenas magnitudes (geralmente em incrementos de 0,25% ou 25 pontos base apenas). Outros fatores usados ​​na determinação do preço da opção (como preço do ativo subjacente, prazo de vencimento, volatilidade e rendimento de dividendos) mudam com mais frequência e em magnitudes maiores, que têm um impacto comparativamente maior nos preços das opções do que mudanças nas taxas de juros. (Para uma análise comparativa de como cada fator afeta os preços das opções, consulte Análise de sensibilidade para o modelo de precificação Black-Scholes.)
Como as taxas de juros afetam os preços das opções de compra e venda.
Para entender a teoria por trás do impacto das mudanças nas taxas de juros, uma análise comparativa entre a compra de ações e a compra de opções equivalentes será útil. Assumimos que um comerciante profissional negocia com dinheiro emprestado com juros para posições longas e recebe dinheiro com juros para posições vendidas.
Vantagem de juros na opção de compra: A compra de 100 ações de uma negociação de ações a US $ 100 exigirá US $ 10.000, o que, assumindo que um trader empresta dinheiro para negociação, levará a pagamentos de juros sobre esse capital. A compra da opção de compra a US $ 12 em muitos 100 contratos custará apenas US $ 1.200. No entanto, o potencial de lucro permanecerá o mesmo que aquele com uma posição de estoque longa. Efetivamente, o diferencial de US $ 8.800 resultará em economias de pagamento de juros de saída sobre esse montante emprestado. Alternativamente, o capital economizado de US $ 8.800 pode ser mantido em uma conta remunerada e resultará em receita de juros - uma participação de 5% gerará US $ 440 em um ano. Assim, um aumento nas taxas de juros levará a poupança em juros de saída do montante emprestado ou a um aumento no recebimento de receita de juros na conta de poupança. Ambos serão positivos para essa posição de chamada + economia. Efetivamente, o preço de uma opção de compra aumenta para refletir esse benefício do aumento das taxas de juros. Desvantagem de juros na opção de venda: Teoricamente, a venda a descoberto de uma ação com o objetivo de se beneficiar de uma queda de preço trará dinheiro para o vendedor a descoberto. A compra de um put tem um benefício semelhante do declínio de preços, mas tem um custo, já que o prêmio da opção de venda deve ser pago. Este caso tem dois cenários diferentes: o dinheiro recebido pelo shorting stock pode render juros para o trader, enquanto o dinheiro gasto na compra de puts é o pagamento de juros (assumindo que o trader está pedindo dinheiro emprestado para comprar puts). Com um aumento nas taxas de juros, o shorting stock torna-se mais lucrativo do que comprar puts, já que o primeiro gera renda e o segundo faz o oposto. Assim, os preços das opções de venda são afetados negativamente, aumentando as taxas de juros.
O grego rho.
Rho é um padrão grego (um parâmetro quantitativo computado) que mede o impacto de uma mudança nas taxas de juros sobre um preço de opção. Indica o valor pelo qual o preço da opção será alterado para cada alteração de 1% nas taxas de juros. Suponha que uma opção de compra tenha um preço atual de US $ 5 e tenha um valor de rho de 0,25. Se as taxas de juros aumentarem em 1%, o preço da opção de compra aumentará em US $ 0,25 (para US $ 5,25) ou pela quantia de seu valor rho. Da mesma forma, o preço da opção de venda diminuirá pela quantidade de seu valor de rho.
Como as mudanças na taxa de juros não acontecem com frequência e geralmente são incrementais de 0,25%, o rho não é considerado um grego primário, pois não tem um grande impacto nos preços das opções em comparação a outros fatores (ou gregos como delta, gamma, vega ou theta).
Como uma mudança nas taxas de juros afeta os preços das opções de compra e venda?
Tomando o exemplo de uma opção de compra em dinheiro estilo europeu (ITM) em uma negociação subjacente a US $ 100, com um preço de exercício de US $ 100, um ano para expirar, volatilidade de 25% e uma taxa de juros de 5%, o preço da chamada usando o modelo Black-Scholes chega a $ 12,3092 e o valor do call rho vem para 0,5035. O preço de uma opção de venda com parâmetros semelhantes chega a US $ 7,4828 e o valor de rho é -0,4482 (Caso 1).
Agora, vamos aumentar a taxa de juros de 5% para 6%, mantendo outros parâmetros iguais.
O preço de compra subiu para $ 12,7977 (uma variação de $ 0,4885) e o preço de compra caiu para $ 7,0610 (variação de $ -0,4218). O preço de compra e o preço de venda mudaram quase a mesma quantia da chamada computada anterior rho (0,5035) e colocaram valores de rho (-0,4482) calculados anteriormente. (A diferença funcional é devida à metodologia de cálculo do modelo BS e é insignificante).
Na realidade, as taxas de juros geralmente mudam apenas em incrementos de 0,25%. Para dar um exemplo realista, vamos mudar a taxa de juros de 5% para apenas 5,25%. Os outros números são os mesmos do Caso 1.
O preço da ligação aumentou para US $ 12,4309 e o preço de venda reduzido para US $ 7,3753 (uma pequena variação de US $ 0,1217 para preço de compra e de - US $ 0,1075 para preço de venda).
Como pode ser observado, as mudanças nos preços das opções de compra e venda são insignificantes após uma mudança na taxa de juros de 0,25%.
É possível que as taxas de juros possam mudar quatro vezes (4 * 0,25% = aumento de 1%) em um ano, ou seja, até o tempo de expiração. Ainda assim, o impacto de tais mudanças na taxa de juros pode ser insignificante (apenas cerca de US $ 0,5 em um preço de opção de compra de ITM de US $ 12 e preço de opção de venda de US $ 7 na ITM). Ao longo do ano, outros fatores podem variar com magnitudes muito mais altas e podem afetar significativamente os preços das opções.
Cálculos semelhantes para opções fora do dinheiro (OTM) e ITM produzem resultados semelhantes, com apenas alterações fracionárias observadas nos preços das opções após a variação da taxa de juros.
Oportunidades de arbitragem.
É possível se beneficiar da arbitragem sobre as mudanças esperadas na taxa? Normalmente, os mercados são considerados eficientes e os preços dos contratos de opções já são considerados inclusivos de tais mudanças esperadas. (Veja relacionado: Hipótese do mercado eficiente). Além disso, uma mudança nas taxas de juros geralmente tem um impacto inverso nos preços das ações, o que tem um impacto muito maior sobre os preços das opções. Em geral, devido à pequena alteração proporcional no preço da opção devido a alterações na taxa de juros, os benefícios da arbitragem são difíceis de capitalizar.
The Bottom Line.
A precificação de opções é um processo complexo e continua a evoluir, apesar de modelos populares como Black-Scholes serem usados ​​há décadas. Vários fatores afetam a avaliação de opções, o que pode levar a variações muito altas nos preços das opções no curto prazo. Opção de compra e prêmio de opção de venda são impactados de forma inversa à medida que as taxas de juros mudam. No entanto, o impacto nos preços das opções é fracionário; O preço da opção é mais sensível a alterações em outros parâmetros de entrada, como preço subjacente, volatilidade, prazo de vencimento e rendimento de dividendos.

Taxa de Retorno Livre de Risco.
Qual é a taxa de retorno livre de risco?
A taxa de retorno livre de risco é a taxa teórica de retorno de um investimento com risco zero. A taxa livre de risco representa o interesse que um investidor esperaria de um investimento absolutamente livre de risco durante um período de tempo especificado.
Em teoria, a taxa livre de risco é o retorno mínimo que um investidor espera de qualquer investimento, porque ele não aceitará risco adicional a menos que a taxa de retorno potencial seja maior que a taxa livre de risco.
Na prática, no entanto, a taxa livre de risco não existe, porque mesmo os investimentos mais seguros carregam uma quantidade muito pequena de risco. Assim, a taxa de juros em uma nota de três meses do Tesouro dos EUA é frequentemente usada como a taxa livre de risco para investidores baseados nos EUA.
Prêmio de risco.
Modelo de Precificação de Ativos de Capital - CAPM.
Custo de equidade.
Ativo Seguro.
QUEBRANDO PARA BAIXO 'Taxa de Retorno Livre de Risco'
A determinação de uma proxy para a taxa de retorno livre de risco para uma dada situação deve considerar o mercado doméstico do investidor, enquanto as taxas de juros negativas podem complicar a questão.
Risco Cambial.
A fatura de três meses do Tesouro dos EUA é uma procuração útil porque o mercado considera que praticamente não há chance de o governo não cumprir suas obrigações. O tamanho grande e a liquidez profunda do mercado contribuem para a percepção de segurança. No entanto, um investidor estrangeiro cujos ativos não são denominados em dólares incorrem em risco cambial ao investir em títulos do Tesouro dos EUA. O risco pode ser coberto através de moedas e opções, mas afeta a taxa de retorno.
As contas governamentais de curto prazo de outros países altamente cotados, como a Alemanha e a Suíça, oferecem uma proxy de taxa livre de risco para investidores com ativos em euros ou francos suíços. Investidores baseados em países menos bem classificados que estão dentro da zona do euro, como Portugal e Grécia, são capazes de investir em títulos alemães sem incorrer em risco cambial. Por outro lado, um investidor com ativos em rublos russos não pode investir em títulos do governo altamente cotados sem incorrer em risco cambial.
Taxas de Juros Negativas.
A fuga para a qualidade e longe de instrumentos de alto rendimento em meio à longa crise da dívida europeia levou as taxas de juros para território negativo nos países considerados mais seguros, como a Alemanha e a Suíça. Nos Estados Unidos, as batalhas partidárias no Congresso sobre a necessidade de elevar o teto da dívida às vezes limitam bastante a emissão de títulos, com a falta de oferta elevando os preços de forma acentuada. O menor rendimento permitido em um leilão do Tesouro é zero, mas as contas às vezes são negociadas com rendimentos negativos no mercado secundário. E no Japão, a deflação persistente levou o Banco do Japão a seguir uma política de taxas de juros ultra-baixas e às vezes negativas para estimular a economia. As taxas de juros negativas essencialmente empurram o conceito de retorno livre de risco ao extremo; os investidores estão dispostos a pagar para colocar seu dinheiro em um ativo que considerem seguro.

Opções de ações com taxas de juros livres de risco
O Black and Scholes Option Pricing Model não apareceu da noite para o dia, de fato, a Fisher Black começou a trabalhar para criar um modelo de avaliação para os warrants de ações. Este trabalho envolveu o cálculo de um derivativo para medir como a taxa de desconto de um warrant varia com o tempo e o preço das ações. O resultado deste cálculo manteve uma notável semelhança com uma equação de transferência de calor bem conhecida. Logo após essa descoberta, Myron Scholes se juntou a Black e o resultado de seu trabalho é um modelo de precificação de opções surpreendentemente preciso. Black e Scholes não podem receber todo o crédito pelo seu trabalho, na verdade seu modelo é na verdade uma versão melhorada de um modelo anterior desenvolvido por A. James Boness em seu Ph. D. dissertação na Universidade de Chicago. As melhorias de Black e Scholes no modelo Boness vêm na forma de uma prova de que a taxa de juros livre de risco é o fator de desconto correto, e com a ausência de hipóteses sobre as preferências de risco do investidor.
Para entender o modelo em si, dividimos em duas partes. A primeira parte, SN (d1), deriva o benefício esperado de adquirir um estoque imediato. Isso é encontrado multiplicando-se o preço das ações [S] pela mudança no prêmio da chamada com respeito a uma mudança no preço da ação subjacente [N (d1)]. A segunda parte do modelo, Ke (-rt) N (d2), dá o valor presente de pagar o preço de exercício no dia da expiração. O valor justo de mercado da opção de compra é então calculado pela diferença entre essas duas partes.

Opções de ações com taxas de juros livres de risco
O Black and Scholes Option Pricing Model não apareceu da noite para o dia, de fato, a Fisher Black começou a trabalhar para criar um modelo de avaliação para os warrants de ações. Este trabalho envolveu o cálculo de um derivativo para medir como a taxa de desconto de um warrant varia com o tempo e o preço das ações. O resultado deste cálculo manteve uma notável semelhança com uma equação de transferência de calor bem conhecida. Logo após essa descoberta, Myron Scholes se juntou a Black e o resultado de seu trabalho é um modelo de precificação de opções surpreendentemente preciso. Black e Scholes não podem receber todo o crédito pelo seu trabalho, na verdade seu modelo é na verdade uma versão melhorada de um modelo anterior desenvolvido por A. James Boness em seu Ph. D. dissertação na Universidade de Chicago. As melhorias de Black e Scholes no modelo Boness vêm na forma de uma prova de que a taxa de juros livre de risco é o fator de desconto correto, e com a ausência de hipóteses sobre as preferências de risco do investidor.
Para entender o modelo em si, dividimos em duas partes. A primeira parte, SN (d1), deriva o benefício esperado de adquirir um estoque imediato. Isso é encontrado multiplicando-se o preço das ações [S] pela mudança no prêmio de compra com respeito a uma mudança no preço da ação subjacente [N (d1)]. A segunda parte do modelo, Ke (-rt) N (d2), dá o valor presente de pagar o preço de exercício no dia da expiração. O valor justo de mercado da opção de compra é então calculado pela diferença entre essas duas partes.